MATEMATICAS GRADO 11

PERIODO 3

Julio 5

FECHA	Clase 1 Periodo 3	· MATERIA Y GRUPO	Matemáticas grado 11
TEMA:	Historia de las derivadas.
LOGRO – OBJETIVO
· Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva. · Detalla los objetivos de aprendizaje que incluyen calcular derivadas de funciones algebraicas · Resuelve problemas de optimización · Identifica las derivadas de funciones trascendentes, reglas de derivación y aplicaciones de la derivada
DESARROLLO DE LA CLASE:
· Retomar los conceptos principales de la clase anterior · Indagación por los conceptos básicos del nuevo tema · Explicación del nuevo tema · Realización de ejercicios explicativos del tema · Realización de actividad con ejercicios del nuevo tema
ACTIVIDADES PARA LA CASA:
· Terminar la actividad iniciada en clase y que refuerza el tema visto

RESEÑA HISTORICA DE LA DERIVADA

Desde los griegos, se plantearon cuatro problemas fundamentales que al ser resueltos en el s XVI-XVII, dieron vida a la función derivada, fueron ellos: El de la velocidad, el de la recta tangente, el de área bajo una curva y el de máximos y mínimos.

Entre los trabajos destacados en la cultura griega, respecto a los procesos de variación se encuentran los de: Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática, para quien el movimiento era imposible y consideraba que el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles. De él son famosas sus paradojas: La del movimiento, la de Aquiles, la de la flecha y la del tiempo. Luego está la escuela de los atomistas: Leucipio, Demócrito y Jenofonte, s. V y s IV a.C., quienes se preocuparon por atacar el idealismo de la escuela Eleática, centrándose en el otro extremo, el materialismo. Para esta escuela el movimiento correspondía a la interacción de los átomos y de alguna forma concibieron el movimiento como una relación del espacio y el tiempo. En el s. IV a. C aparece Eudoxio, considerado el padre de la astronomía, por lo tanto, en su trabajo el movimiento era muy importante. En 370 a. C. logra plasmar su trabajo escrito sobre el método de exhausión, el cual era un método riguroso y esencialmente geométrico de hallar el área bajo una curva a través de polígonos inscritos y circunscritos, logra por este método hallar el área de un círculo. Este método posteriormente fue utilizado por Arquímedes (287-212 a. C.), considerado por algunos como uno de los tres matemáticos más brillantes de la historia, junto con Newton y Gauss, trabajó en matemática pura y aplicada, continuó con el método de exhausión y logró avances significativos en áreas bajo curvas, demostró por series el área de una región de parábola y otras regiones, trabajó en el movimiento y al igual que sus antecesores la intuición fue de vital importancia para su trabajo.

Es evidente que los anteriores nombres hacen parte de los matemáticos griegos que lograron avances significativos en la geometría y en la aritmética, también lo es la dificultad que tuvieron para trabajar con el infinito y el hecho de que si los matemáticos griegos y filósofos como Platón y Aristóteles hubiesen seguido el camino de Arquímedes y no solo el de Euclides, el desarrollo de las matemáticas se hubiese adelantado varios siglos.

Hasta el siglo XVI, los matemáticos retoman el trabajo de los griegos respecto a los procesos de variación para resolver problemas que se planteaban desde la mecánica, en ese sentido se retoman los trabajos de Eudoxio y de Arquímedes sobre el método de exhausión para hallar áreas bajo curvas. Aparecen matemáticos como: Luca Valerio (1552-1618), Galileo (1564, 1642), Kepler (1571-1630), Huygens (1596-1695),

Descartes (1596-1650), Cavalieri (1598-1647), Fermat (1601-1665), Roberval (16021675), Torricelli (1608-1647), Wallis (1616-1703), Pascal (1623-1662), Hudde (16281704) y Barrow (1630-1677). En este período el rigor matemático cambia respecto del usado por los griegos (Geométrico), se hace necesario buscar nuevas formas de demostrar los procesos matemáticos distintos a los de la geometría y del álgebra, se estudian las relaciones del movimiento, áreas bajo curvas, recta tangente y máximos y mínimos como procesos de variación, en este período la intuición como razonamiento matemático también era muy importante. Se encuentran diferencias en el rigor utilizado por los matemáticos de esta época y en ese sentido por ejemplo se destacan los trabajos de Fermat, Descartes Galileo y de Barrow. En general los trabajos de estos matemáticos en el cálculo, antecedieron al de Newton (1643-1727) en su teoría de fluxiones y al de Leibniz (1646-1716) en la teoría infinitesimal, ambos por caminos distintos con lenguajes también diferentes lograron darle piso a lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral. Tanto Newton como Leibniz, usaron los infinitésimos y los infinitos e intentaron dejarlos de lado por las críticas que algunos pensadores como Berkeley (1685-1753) les hicieron, este hecho marca otra etapa más en el avance del rigor matemático el cual tuvo que esperar hasta los trabajos de Cauchy (1789-1957) a quien se le atribuye el rigor actual de las matemáticas, la definición y la definición de función derivada entre otros, Dedekind (1831-1916) sobre cortaduras y Cantor (1845-1918) sobre conjuntos. Son los trabajos de estos tres matemáticos los que finalmente permiten a las matemáticas y en particular al cálculo establecerse como un dominio matemático distinto al del álgebra, al de la geometría y al de la aritmética Boyer (1992).

La función derivada como objeto del cálculo infinitesimal logra su reconocimiento social, científico y matemático en el siglo XX, cristalizando el trabajo de muchas personas durante 20 siglos y diferenciándose de otros objetos de las matemáticas como los del álgebra, los de la geometría y los de la aritmética entre otros, Boyer (1992). Según Boyer, en la construcción o descubrimiento del cálculo infinitesimal en su etapa final fue necesario la confrontación y contrastación de los métodos geométricos de Cavallieri y Barrow, con los métodos analíticos de: Descartes, Fermat y Wallis, con los métodos aritméticos de: Roberval, Fermat y Wallis y con los métodos cinemáticos de: Torricelli, Roberval y Barrow. En este sentido es evidente entonces que la influencia de la descendencia histórica de Newton en la cinemática como lo fueron: Arquímedes, Galileo, Torricelli, Roberval y Barrow; así como la influencia de la descendencia histórica de Leibniz en el atomismo, representada por: Demócrito, Kepler, Cavallieri, Fermat, Pascal y Huygens fueron quienes permitieron a Newton y Leibniz el logro del cálculo infinitesimal por caminos diferentes, con lenguajes diferentes también, pero que permitió solucionar los cuatro problemas mencionados para los que la humanidad no había encontrado soluciones hasta entonces.

En el estudio hecho por Boyer, así como en otros se ha evidenciado que en el desarrollo histórico del cálculo primero emergió el proceso de integración, luego lo hizo el proceso de la derivación, posterior a estos el del límite y por último en 1960 el de la función como objeto matemático y el del rigor del lenguaje matemático; mientras que en la Didáctica de la Matemática primero se enseña desde el rigor del lenguaje matemático la función como objeto, luego el límite, la derivada y por último la integral. En este sentido se presentan obstáculos (Epistemológicos, psicológicos y didácticos), Radford (1997) o conflictos semióticos, Godino (2007).

IMPORTANCIA DE LA DERIVADA

Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores crearon un sistema de cálculo propio. La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. A lo largo de los siglos, otros matemáticos y científicos han aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos los cálculos.

Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la computación, etc.

Para los que no son expertos en la materia, ni matemáticos, ni científicos, es probable que las derivadas sean una zona de estudio bastante desconocida, un sinsentido o algo muy complicado. Sin embargo, para las personas que dedican su vida a la investigación, las matemáticas o las ciencias, es una parte esencial de conocimiento para poder llegar a entender y conocer muchos de los misterios, desde el punto de vista de nuestra realidad como seres humanos y como habitantes de un planeta y de un punto del espacio.

Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles.

Tarea: Realizar un análisis sobre el tema visto en clase

Para el día lunes, realizar un análisis de la lectura para entregar en una hoja.

Julio 8

FECHA	Clase 2 Periodo 3	· MATERIA Y GRUPO	Matemáticas grado 11
TEMA:	Concepto de la derivada
LOGRO – OBJETIVO
· Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva. · Detalla los objetivos de aprendizaje que incluyen calcular derivadas de funciones algebraicas · Resuelve problemas de optimización · Identifica las derivadas de funciones trascendentes, reglas de derivación y aplicaciones de la derivada
DESARROLLO DE LA CLASE:
· Retomar los conceptos principales de la clase anterior · Indagación por los conceptos básicos del nuevo tema · Explicación del nuevo tema · Realización de ejercicios explicativos del tema · Realización de actividad con ejercicios del nuevo tema
ACTIVIDADES PARA LA CASA:
· Terminar la actividad iniciada en clase y que refuerza el tema visto